Kako izračunati izlaze za racionalne funkcije

Napisali Yang Kuang, Elleyne Kase

U predračunu možete izračunati izlaze za racionalne funkcije. A racionalna funkcija je funkcija koja se može izraziti kao količnik dva polinoma, tako da

za 36 75 mg

Racionalna funkcija.



gdje je stupanj što ( x ) je veća od nule.

Evo koraka koji su uključeni u pronalaženje rezultata (i u konačnici grafički prikaz) racionalnih funkcija:

  1. Potražite vertikalne asimptote.

    Imati varijablu na dnu razlomka problem je jer nazivnik razlomka nikada ne može biti nula. Obično neke vrijednosti domene od x čini nazivnik nulom. Ako postoji x -vrijednost koja čini nazivnik nulom, ali ne i brojnik, tada grafikon ima ono što se naziva a vertikalna asimptota kod ovoga x -vrijednost . Grafikovanjem vertikalne asimptote prvo se prikazuje broj u domeni kroz koji vaš graf ne može proći. Grafik se približava ovoj točki, ali je nikada ne doseže. Imajući to na umu, za koju vrijednost (vrijednosti) x možeš li ne uključiti u racionalnu funkciju?

    Sljedeće su funkcije racionalne:

    Tri primjera racionalnih funkcija.

    Pokušajte pronaći vrijednost za x u kojem je funkcija nedefinirana. Slijedite sljedeće korake za pronalaženje vertikalne asimptote za f ( x ) prvo:

    1. Postavite nazivnik racionalne funkcije jednak nuli.

      Za f ( x ), x dva+ 4 x - 21 = 0.

    2. Riješi ovu jednadžbu za x.

      Budući da je ova jednadžba kvadratna, pokušajte je razbrojiti. Ovaj kvadratni čimbenik za ( x + 7) ( x - 3) = 0. Svaki faktor treba riješiti nuli. Ako x + 7 = 0, x = –7. Ako x - 3 = 0, x = 3. Dakle, jesu vaše dvije vertikalne asimptote x = –7 i x = 3, kao što je prikazano na slici.

      Graf s vertikalnim asimptotama za racionalnu funkciju.

    Sada možete pronaći vertikalnu asimptotu za g ( x ). Slijedite isti niz koraka:

    4 - 3 x = 0

    x = 4/3

    Sada imate vertikalnu asimptotu za g ( x ). To je bilo lako! Vrijeme je da se sve to ponovi h ( x ):

    x + 2 = 0

    x = –2

    Držite ove jednadžbe za vertikalne asimptote u blizini jer će vam trebati kada kasnije budete graficirali.

  2. Potražite vodoravne asimptote.

    Da biste pronašli vodoravnu asimptotu racionalne funkcije, trebate pogledati stupanj polinoma u brojniku i nazivniku. The stupanj je najveća snaga varijable u polinomnom izrazu. Evo kako dalje:

    dugoročne nuspojave neurontina
    • Ako nazivnik ima veći stupanj (kao u f ( x ) primjer u koraku 1), vodoravna asimptota automatski je x- os, ili Y = 0.

    • Ako brojnik i nazivnik imaju jednak stupanj, morate podijeliti vodeće koeficijente (koeficijente pojmova s ​​najvišim stupnjevima) da biste pronašli vodoravnu asimptotu.

      Ako pojmovi s najvišim stupnjevima nisu prvi napisani u polinomu, možete prepisati oba polinoma tako da su najviši stupnjevi na prvom mjestu. Na primjer, možete prepisati nazivnik g ( x ) kao –3 x + 4 tako da se prikazuje u opadajućem redoslijedu.

      Funkcija g ( x ) ima jednake stupnjeve odozgo i odozdo. Da biste pronašli vodoravnu asimptotu, podijelite vodeće koeficijente na pojmove najvišeg stupnja:

      Pronalaženje vodoravnih asimptota racionalne funkcije.

      Sada imate svoju vodoravnu asimptotu za g ( x ). Držite se te jednadžbe za grafički prikaz!

    • Ako brojilac ima veći stupanj točno jedan više od nazivnika, graf će imati kosu asimptotu; pogledajte korak 3 za više informacija o tome kako postupiti.

  3. Potražite kose asimptote.

    Kose asimptote nisu ni vodoravne ni okomite. Zapravo, asimptota uopće uopće ne mora biti ravna crta; to može biti lagana krivulja ili stvarno komplicirana krivulja.

    Da biste pronašli kosu asimptotu, morate upotrijebiti dugu podjelu polinoma da biste pronašli količnik. Uzmete nazivnik racionalne funkcije i podijelite ga u brojnik. Kvocijent (zanemarujući ostatak) daje vam jednadžbu crte vaše kose asimptote.

    Morate razumjeti dugo dijeljenje polinoma da biste upotpunili graf racionalne funkcije kosom asimptotom.

    The h ( x ) primjer iz koraka 1 ima kosu asimptotu jer brojilac ima veći stupanj u polinomu. Korištenjem dugog dijeljenja dobivate količnik od x - 2. Ovaj količnik znači da kosa asimptota slijedi jednadžbu Y = x - 2. Budući da je ova jednadžba prvog stupnja, grafički je izrađujete pomoću obrasca za presijecanje nagiba. Imajte na umu ovu kosu asimptotu, jer grafikoni se upravo pojavljuju!

  4. Pronađite x - i Y -presreta.

    Posljednji dio slagalice je pronaći presjeke (tamo gdje linija ili krivulja prelaze x- i Y- osi) racionalne funkcije, ako postoje:

    • Da biste pronašli Y - presjek jednadžbe, skup x = 0. (Priključite 0 gdje god vidite x. ) The Y - presretanje f ( x ) iz koraka 1, na primjer, iznosi 1/21.

    • Da biste pronašli x- presjek jednadžbe, skup Y = 0 i riješiti za x .

    Za bilo koju racionalnu funkciju, prečac do pronalaska x -prekid je da se brojnik postavi na nulu, a zatim se riješi. Međutim, ponekad kada to učinite, jednadžba koju dobijete je nerješiva, što znači da racionalna funkcija nema an x- presresti.

    The x- presretanje f ( x ) iznosi 1/3.

    Ova slika prikazuje grafikon za f ( x ).

    Grafikon racionalne funkcije.

    Sada pronađite presretanja za g ( x ) i h ( x ) iz koraka 1. Tako ćete pronaći sljedeće točke:

Evo grafa za g ( x ):

Grafikon racionalne funkcije bez horizontalnih asimptota.

Evo grafa za h ( x ):

Grafički prikažite racionalnu funkciju.