Analizirajte serijski RC krug pomoću diferencijalne jednadžbe

John Santiago

Krug RC serije prvog reda ima jedan otpor (ili mrežu otpornika) i jedan kondenzator serijski spojen. RC krugovi prvog reda mogu se analizirati pomoću diferencijalnih jednadžbi prvog reda. Analizom kruga prvog reda možete razumjeti njegovo vrijeme i kašnjenja.

Evo primjera RC sklopa prvog reda.



image0.jpg

Ako vaš krug RC serije ima kondenzator povezan s mrežom otpornika, a ne s jednim otpornikom, možete koristiti isti pristup za analizu kruga. Prvo morate pronaći ekvivalent Thévenina, reducirajući mrežu otpornika na jedan otpor u seriji s jednim izvorom napona.

Ovdje prikazan jednostavan sklop RC serije pokreće izvor napona. Budući da su otpornik i kondenzator povezani u seriju, moraju imati jednaku struju to) . Za krug uzorka i ono što slijedi, neka R = R T .

Da biste pronašli napon na otporniku v R (t) , upotrebljavate Ohmov zakon za otpornik:

vR(t) = Ri (t)

Ograničenje elementa za kondenzator dato je kao

image1.jpg

gdje v (t) je napon kondenzatora.

Stvaranje struje kroz kondenzator zahtijeva promjenjivi napon. Ako se napon kondenzatora ne promijeni, struja u kondenzatoru je jednaka 0. Nulta struja podrazumijeva beskonačni otpor za stalni napon na kondenzatoru.

Sada zamijenite struju kondenzatora i (t) = Cdv (t) / dt u Ohmov zakon za otpornik R , jer kroz otpornik i kondenzator teče ista struja. To vam daje napon na otporniku, v R (t) :

image2.jpg

Kirchhoff-ov zakon napona (KVL) kaže da je zbroj napona raste i pada oko petlje kruga jednak 0. Korištenje KVL-a za uzorak kruga RC serije daje vam

vT(t) = vR(t) + v (t)

Sad nadomjestak v R (t) u KVL:

image3.jpg

Sada imate diferencijalnu jednadžbu prvog reda gdje je nepoznata funkcija napon kondenzatora. Poznavanje napona na kondenzatoru daje vam električnu energiju pohranjenu u kondenzatoru.

Općenito, napon kondenzatora naziva se varijablom stanja jer napon kondenzatora opisuje stanje ili ponašanje kruga u bilo kojem trenutku.

Jednostavan način da se prisjetite varijabli stanja - poput napona kondenzatora v C (t) i struja prigušnice ja L (t) - opišite sadašnju situaciju kruga tako da mislite na položaj i trenutnu brzinu automobila kao na varijable stanja vašeg automobila. Ako se utrkujete veličanstvenom cestom Nacionalnog parka Rocky Mountain, vaš GPS položaj i brzina automobila opisuju trenutno stanje vaše vožnje.

Krug serije RC je sklop prvog reda jer je opisan diferencijalnom jednadžbom prvog reda. Krug reduciran na jedan ekvivalentni kapacitet i jedan ekvivalentni otpor također je krug prvog reda. Krug ima primijenjeni ulazni napon v T (t) .

Da biste pronašli ukupan odziv sklopa RC serije, morate pronaći odziv nultog ulaza i odziv nultog stanja, a zatim ih zbrojiti. Ovdje je sklop RC serije rastavljen u dva kruga. Dijagram gore desno prikazuje odgovor nultog ulaza koji dobivate postavljanjem ulaza na 0. Dijagram dolje desno prikazuje odziv nultog stanja koji dobivate postavljanjem početnih uvjeta na 0.

image4.jpg